1. 3 확률 집합 함수 (Probability Set Function)

1. 3 확률 집합 함수 (Probability Set Function)

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Def 1.3.1 |  Sigma-Field

B를 표본 공간 C의 부분집합이라 하자. B is σ-field ⇔

i) ∅∈B

ii) c∈B ⇒ cᶜ∈B  (closed under complement)

iii) c₁, c₂, c₃,...∈B ⇒ ∪cₖ∈B  (closed under countable union)

 

Examples of σ-field

i) B = { ∅, c, cᶜ, C}  : smallest

ii) B = power set of C : largest (power set = collection of all subsets of C)

 

Def 1.3.2 |  Probability Set Function (확률집합함수)

B를 표본 공간 C의 σ-field라 하자.

P가 real-valued function일 때, P is probability set function ⇔

i) P(c)>0, ∀c∈C  : non-negative

ii) P(C) = 1  : normality

iii) c₁, c₂, c₃,...∈B,  cᵢ ∩ cⱼ = ∅, ∀i≠j

     P(∪cᵢ) = ∑P(cᵢ)  : countable additivity

 

Thm 1.3.1 |  P(c) = 1 - P(cᶜ)

 P(c) = P(c∪cᶜ) = P(c) + P(cᶜ) = 1 ( ∵ c와 cᶜ는 disjoint )

Thm 1.3.2 |  P(∅) = 0

 Let c=∅. By Thm 1.3.1, P(∅) = 1 - P(∅ᶜ) = 1 - P(C) = 1 - 1 = 0.

Thm 1.3.3 |  c₁⊂c₂ ⇒ P(c₁) ≤ P(c₂)

 c₂ = c₁∪(c₁ᶜ∩c₂) ⇒ P(c₂) = P(c₁) + P(c₁ᶜ∩c₂) ⇒ P(c₂) ≥ P(c₁) ( ∵ P(c₁ᶜ∩c₂) ≥ 0 )

Thm 1.3.4 |  0 ≤ P(c) ≤ 1, ∀c∈B

 ∅⊂c⊂C ⇒ 0 = P(∅) ≤ P(c) ≤ P(C) = 1

Thm 1.3.5  | P(c₁∪c₂) = P(c₁) + P(c₂) - P(c₁∩c₂)

 c₁∪c₂ = c₁∪(c₁ᶜ∩c₂) ⇒ P(c₁∪c₂) = P(c₁) + P(c₁ᶜ∩c₂)  ( ∵ c₁와 c₁ᶜ∩c₂는 disjoint )

 c₂ = (c₁∩c₂)∪(c₁ᶜ∩c₂) ⇒ P(c₂) = P(c₁∩c₂) + P(c₁ᶜ∩c₂)  ( ∵ c₁∩c₂와 c₁ᶜ∩c₂는 disjoint )

 ∴ P(c₁∪c₂) = P(c₁) + P(c₂) - P(c₁∩c₂)

 

Thm 1.3.6 |

{cₙ} : increasing,  lim P(cₙ) := P(lim cₙ) = P(∪cₙ)

 cᵢ's : increasing seq ⇒ c₁⊂c₂⊂c₃... ⇒ ∪cₙ

{cₙ} : decreasing,  lim P(cₙ) := P(lim cₙ) = P(∩cₙ)

 cᵢ's : decreasing seq ⇒ c₁⊃c₂⊃c₃... ⇒ ∩cₙ

 

Thm 1.3.7 | Boole's inequality

Let {cₙ} be arbitrary seq of sets. Then P(∪cₙ) ≤ ∑P(cₙ).

 

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Conclusion

σ-field의 조건 3가지 : ∅ 포함, closed under complement(여집합), closed under countable unions(합집합)

확률집합함수의 조건 3가지 : non-negative, normality, countable additivity